Nierówności
Zadanie 5, sierpień 2016, poziom podstawowy
x
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(+ 7 > 0\) jest
\(5\)
A. −\(14\) B. −\(13\) C. \(13\) D. \(14\)
Odpowiedź
B
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie dwuetapowe. Najpierw rozwiązujemy nierówność liniową
\[\frac{x}{5}+\sqrt7\gt0,\]
czyli wyznaczamy cały zbiór liczb ją spełniających, a dopiero potem szukamy w tym zbiorze najmniejszej liczby całkowitej. Liczba \(\sqrt7\) jest tu zwykłą stałą — traktujemy ją jak każdą inną liczbę.
**Krok \(2\).** Przenosimy \(\sqrt7\) na drugą stronę:
\[\frac{x}{5}\gt-\sqrt7.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(5\). Mnożymy przez liczbę **dodatnią**, więc zwrot nierówności się nie zmienia:
\[x\gt-5\sqrt7.\]
**Krok \(4\).** Szacujemy liczbę \(-5\sqrt7\), żeby wiedzieć, między którymi liczbami całkowitymi leży. Wygodnie wciągnąć \(5\) pod pierwiastek:
\[5\sqrt7=\sqrt{25\cdot7}=\sqrt{175}.\]
Ponieważ \(13^{2}=169\) oraz \(13{,}5^{2}=182{,}25\), mamy \(169\lt175\lt182{,}25\), czyli
\[13\lt\sqrt{175}\lt13{,}5.\]
**Krok \(5\).** Po zmianie znaku nierówności odwracają się:
\[-13{,}5\lt-5\sqrt7\lt-13.\]
Zbiorem rozwiązań jest więc przedział liczb większych od pewnej liczby leżącej między \(-13{,}5\) a \(-13\).
**Krok \(6\).** Sprawdzamy kandydatów z odpowiedzi. Liczba \(-13\) spełnia nierówność, bo \(-13\gt-5\sqrt7\) (wiemy z kroku \(5\), że \(-5\sqrt7\lt-13\)). Liczba \(-14\) nie spełnia, bo \(-14\lt-13{,}5\lt-5\sqrt7\).
**Krok \(7\).** Każda liczba całkowita mniejsza od \(-13\), czyli \(-14,-15,-16,\dots\), jest mniejsza od \(-5\sqrt7\) i nierówności nie spełnia. Zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest \(-13\).
**Uwaga.** Pytanie dotyczy liczby **najmniejszej**, a zbiór rozwiązań jest przedziałem nieograniczonym z prawej strony — liczy się więc wyłącznie jego lewy koniec. Bierzemy pierwszą liczbę całkowitą na prawo od \(-5\sqrt7\), a nie na lewo. Sprawdzenie bezpośrednie: dla \(x=-13\) mamy \(\frac{-13}{5}+\sqrt7=-2{,}6+\sqrt7\), a \(\sqrt7\gt2{,}6\) (bo \(2{,}6^{2}=6{,}76\lt7\)), więc wynik jest dodatni.
**Odpowiedź.** B: \(-13\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 5.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
