Równania i nierówności
Zadanie 3, próbna styczeń 2005, poziom podstawowy
Dwie konkurencyjne firmy „Alfa” i „Beta” chcą podjąć się organizacji wycieczki. Opłata za wycieczkę w przypadku każdej z ofert składa się z części stałej, niezależnej od liczebności grupy, oraz stawki za każdego uczestnika. Opłata stała i stawka wynoszą odpowiednio \(3000\,\mathrm{zł}\) i \(245\,\mathrm{zł}\) w firmie „Alfa” oraz \(4400\,\mathrm{zł}\) i \(206\,\mathrm{zł}\) w firmie „Beta”. Oblicz:
a) przy jakiej liczbie uczestników wycieczki korzystniejsza jest oferta firmy „Alfa”,
b) jakie koszty przypadną na każdego z \(38\) uczestników wycieczki zorganizowanej przez firmę „Beta” (koszty podaj z dokładnością do \(1\,\mathrm{zł}\)).
Odpowiedź
a) Oferta firmy Alfa jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) uczestników (bo \(n\lt\tfrac{1400}{39}=35\tfrac{35}{39}\)); b) na jednego uczestnika przypada około \(322\ \text{zł}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Koszt każdej z ofert to funkcja LINIOWA liczby uczestników: opłata stała plus stawka pomnożona przez liczbę osób. Pytanie „przy jakiej liczbie uczestników korzystniejsza jest oferta Alfy” oznacza „kiedy koszt Alfy jest MNIEJSZY od kosztu Bety” — czyli prowadzi do nierówności. Podpunkt b) to zwykły rachunek: koszt całkowity podzielony przez liczbę osób.
**Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia. Niech \(n\) oznacza liczbę uczestników wycieczki (\(n\) jest liczbą naturalną dodatnią). Wtedy
\[A(n)=3000+245n\ \text{(firma „Alfa”)},\qquad B(n)=4400+206n\ \text{(firma „Beta”)}.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek „Alfa jest korzystniejsza”, czyli tańsza:
\[3000+245n\lt4400+206n.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy nierówność. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą:
\[245n-206n\lt4400-3000,\]
\[39n\lt1400,\]
\[n\lt\frac{1400}{39}=35\frac{35}{39}\approx35{,}9.\]
**Krok \(5\).** Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, spełnione są przypadki \(n=1,2,\ldots,35\). Zatem oferta firmy „Alfa” jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) uczestników. (Sprawdzenie dla \(n=36\): Alfa kosztuje \(3000+8820=11820\) zł, a Beta \(4400+7416=11816\) zł — istotnie, przy \(36\) osobach tańsza jest już Beta.)
**Krok \(6\).** Podpunkt b): obliczamy koszt całkowity wycieczki dla \(38\) osób w firmie „Beta”:
\[B(38)=4400+206\cdot38=4400+7828=12228\ \text{zł}.\]
**Krok \(7\).** Dzielimy przez liczbę uczestników:
\[\frac{12228}{38}=321{,}789\ldots\approx322\ \text{zł}.\]
**Uwaga.** Pułapką jest zaokrąglenie w kroku \(5\): liczba \(\frac{1400}{39}\) nie jest całkowita, a nierówność jest OSTRA, więc największym dobrym \(n\) jest \(35\) — zaokrąglamy W DÓŁ, a nie do najbliższej liczby całkowitej (\(36\) już nie działa). W podpunkcie b) trzeba pamiętać, że opłata stała \(4400\) zł też rozkłada się na uczestników, i że wynik zaokrąglamy do pełnych złotych, jak żąda treść.
**Odpowiedź.** a) Oferta firmy Alfa jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) uczestników (bo \(n\lt\tfrac{1400}{39}=35\tfrac{35}{39}\)); b) na jednego uczestnika przypada około \(322\ \text{zł}\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności wraz z podaniem właściwej odpowiedzi a): \(n<35\frac{35}{39}\), czyli oferta firmy „Alfa” jest korzystniejsza dla grup liczących co najwyżej \(35\) osób.
**2. (2 pkt)** – Obliczenie kosztów przypadających na jednego uczestnika (1 punkt przyznajemy za prawidłową metodę, 1 punkt za prawidłowe obliczenia i zaokrąglenie wyniku): \(322\) zł
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
