Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, próbna styczeń 2005, poziom podstawowy
Zbiór \(A\) jest zbiorem rozwiązań nierówności
\[-x^2+2x+3\geqslant0,\]
a zbiór \(B\) jest dziedziną funkcji wymiernej
\[W(x)=\frac{x^2-9}{4x-x^2}.\]
Wyznacz różnicę zbiorów \(A\setminus B\).
Odpowiedź
\[A\setminus B=\{0\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wyznaczamy najpierw zbiór \(A\). Nierówność \(-x^2+2x+3\geq0\) mnożymy stronami przez \(-1\), zmieniając zwrot:
\[x^2-2x-3\leq0,\qquad (x+1)(x-3)\leq0,\]
skąd
\[A=[-1,3].\]
Zbiór \(B\) to dziedzina funkcji wymiernej — mianownik musi być różny od zera:
\[4x-x^2\neq0,\qquad x(4-x)\neq0,\]
czyli \(x\neq0\) i \(x\neq4\). Zatem \(B=\mathbb{R}\setminus\{0,4\}\).
Różnica \(A\setminus B\) to te elementy \(A\), których nie ma w \(B\), czyli \(A\cap\{0,4\}\). Liczba \(0\) należy do \([-1,3]\), a \(4\) już nie, więc
\[A\setminus B=\{0\}.\]
**Odpowiedź.** \(A\setminus B=\{0\}\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie pierwiastków mianownika wyrażenia \(\frac{x^{2}-9}{4x-x^{2}}\): \(x_{1}=0\), \(x_{2}=4\)
**2. (1 pkt)** – Wyznaczenie dziedziny funkcji wymiernej: \(B=R\setminus\{0;4\}\)
**3. (1 pkt)** – Wyznaczenie różnicy zbiorów: \(A\setminus B=\{0\}\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
