Inne zagadnienia
Zadanie 5, maj 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Odpowiedź
Liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\) dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\).
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba \(n\) jest nieparzysta, więc można ją zapisać w postaci
\[n=2k+1,\qquad\text{gdzie }k\text{ jest liczbą całkowitą nieujemną}.\]
Podstawiamy do badanego wyrażenia:
\[3n^{2}+2n+7=3(2k+1)^{2}+2(2k+1)+7.\]
Rozwijamy kwadrat i porządkujemy:
\[3\left(4k^{2}+4k+1\right)+4k+2+7=12k^{2}+12k+3+4k+9=12k^{2}+16k+12.\]
Wyłączamy \(4\) przed nawias:
\[12k^{2}+16k+12=4\left(3k^{2}+4k+3\right).\]
Liczba \(3k^{2}+4k+3\) jest całkowita, więc otrzymana liczba jest wielokrotnością \(4\).
**Odpowiedź.** Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie, że \(n=2k+1\), oraz przekształcenie wyrażenia \(3n^{2}+2n+7\) do postaci \(4\left(3k^{2}+4k+3\right)\)
ALBO – przekształcenie wyrażenia do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez \(4\) wraz z uzasadnieniem, że każdy składnik tej sumy jest podzielny przez \(4\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
**Uwaga CKE:** sprawdzenie tezy dla kilku konkretnych wartości \(n\) jest przykładem, a nie dowodem, i nie daje punktów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymaganie szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
