Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).
Odpowiedź
Istnieją liczby całkowite \(k,l\), dla których \(a=5k+1\) oraz \(b=5l+4\). Wtedy
\[a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(5k-5l-3)\cdot5(k+l+1).\]
Jeden z czynników jest podzielny przez \(5\), więc liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie jednej z liczb w postaci \(5k\) + \(1\) albo \(5l\) + \(4\) lub równoważny krok dotyczący reszt kwadratów.
**Krok \(2\).** pkt: zapisanie obu postaci i istotne przekształcenie różnicy kwadratów albo wykazanie, że a + b jest podzielne przez \(5\).
**Krok \(3\).** pkt: pełne poprawne rozumowanie kończące dowód podzielności.
**Odpowiedź.** Istnieją liczby całkowite \(k,l\), dla których \(a=5k+1\) oraz \(b=5l+4\). Wtedy
\[a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(5k-5l-3)\cdot5(k+l+1).\]
Jeden z czynników jest podzielny przez \(5\), więc liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne zapisanie jednej z liczb w postaci 5k + 1 albo 5l + 4 lub równoważny krok dotyczący reszt kwadratów.
2 pkt: zapisanie obu postaci i istotne przekształcenie różnicy kwadratów albo wykazanie, że a + b jest podzielne przez 5.
3 pkt: pełne poprawne rozumowanie kończące dowód podzielności.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe: I.2) Przeprowadza dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
