Potęgi i pierwiastki
Zadanie 4, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Liczba \(2+\log_{3}5\) jest równa
**A.** \(\log_{3}7\)
**B.** \(\log_{3}10\)
**C.** \(\log_{3}25\)
**D.** \(\log_{3}45\)
Odpowiedź
**D.** \(2=\log_{3}9\), więc \(2+\log_{3}5=\log_{3}9+\log_{3}5=\log_{3}45\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wyrażenie \(2+\log_35\) to suma zwykłej liczby i logarytmu. Wzory na logarytmy dotyczą tylko działań **na logarytmach**, więc pierwszym ruchem musi być zamiana liczby \(2\) na logarytm o tej samej podstawie \(3\).
**Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \(\log_a a^k=k\), czytanego od prawej do lewej:
\[2=\log_33^2=\log_39.\]
**Krok \(3\).** Wyrażenie staje się sumą dwóch logarytmów o tej samej podstawie:
\[2+\log_35=\log_39+\log_35.\]
**Krok \(4\).** Sumę logarytmów o tej samej podstawie zapisujemy jako logarytm iloczynu:
\[\log_39+\log_35=\log_3(9\cdot5)=\log_345.\]
**Uwaga.** Odpowiedź **A** (\(\log_37\)) powstaje z błędnego dodania \(2\) do liczby stojącej pod logarytmem. Dodawanie logarytmów odpowiada **mnożeniu** ich argumentów, a nie dodawaniu.
**Odpowiedź.** D: \(\log_345\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: 1.6) Stosuje wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.
