Nierówności
Zadanie 6, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \(\frac{(3x-5)}{12}<\frac{1}{3}\) jest równa
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(5\)
D. \(6\)
Odpowiedź
A. \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Najpierw rozwiązujemy nierówność (jest liniowa, tylko z ułamkami), a dopiero potem wybieramy z jej rozwiązań liczby całkowite dodatnie i je liczymy.
**Krok \(2\).** Mnożymy obie strony przez \(12\). Liczba \(12\) jest dodatnia, więc zwrot nierówności zostaje bez zmian:
\[3x-5\lt 12\cdot\frac13,\qquad 3x-5\lt 4.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy \(-5\) na prawą stronę:
\[3x\lt 9.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy przez \(3\) (znów liczba dodatnia, zwrot bez zmian):
\[x\lt 3.\]
**Krok \(5\).** Wypisujemy liczby całkowite dodatnie spełniające \(x\lt 3\): są to \(1\) i \(2\). Liczba \(3\) nie spełnia nierówności ostrej, a \(0\) i liczby ujemne nie są dodatnie.
**Krok \(6\).** Takich liczb są dwie.
**Uwaga.** Pytanie dotyczy **ilu jest** rozwiązań, a nie jakie one są - odpowiedzią jest liczba \(2\), a nie liczba \(3\) ani zbiór \(\{1,2\}\). Zwróć też uwagę, że zero nie jest liczbą dodatnią.
**Odpowiedź.** A: \(2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.
