Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 30, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że
\[\frac{a+b}{2}>c\qquad\text{i}\qquad\frac{b+c}{2}>a,\]
prawdziwa jest nierówność
\[\frac{a+c}{2}<b.\]
Odpowiedź
\[\frac{a+c}{2}<b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dodajemy stronami obie nierówności z założenia:
\[\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}>c+a.\]
Po uporządkowaniu otrzymujemy
\[\frac{a+2b+c}{2}>a+c.\]
Mnożymy przez \(2\):
\[a+2b+c>2a+2c.\]
Po odjęciu \(a+c\) od obu stron mamy
\[2b>a+c,\]
czyli
\[b>\frac{a+c}{2}.\]
To należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne poprawne rozumowanie prowadzące do tezy
**1 pkt** – dodanie nierówności z założenia i zapisanie \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}>c+a\) lub równoważnej nierówności
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo sprawdzenie tylko wybranych wartości
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
przeprowadzanie prostych dowodów algebraicznych z wykorzystaniem własności nierówności.
