Ciąg arytmetyczny
Zadanie 31, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\geq1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_n)\).
Odpowiedź
\[r=-\frac{31}{105}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu. Korzystamy ze wzoru na sumę \(20\) początkowych wyrazów:
\[S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20.\]
Ponieważ
\[a_{20}=a_1+19r,\qquad a_{21}=a_1+20r,\]
warunek z zadania daje
\[\frac{a_1+(a_1+19r)}{2}\cdot20=20(a_1+20r)+62.\]
Stąd
\[20a_1+190r=20a_1+400r+62,\]
\[-210r=62,\qquad r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie różnicy \(r=-\frac{31}{105}\)
**1 pkt** – poprawne użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego lub zapisanie \(a_{21}=a_1+20r\) i utworzenie równania prowadzącego do wyniku
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
