Równania kwadratowe
Zadanie 23, maj 2021, poziom podstawowy
W każdym n-kącie wypukłym \((n \geq 3)\) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n - 3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków, jest
A. siedmiokąt
B. dziesięciokąt
C. dwunastokąt
D. piętnastokąt
Odpowiedź
B. dziesięciokąt
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, jak zamienić słowa na równanie. W \(n\)-kącie liczba boków wynosi \(n\), a liczbę przekątnych podano w treści: \(\frac{n(n-3)}{2}\). Sformułowanie, że przekątnych jest o \(25\) więcej niż boków, znaczy: liczba przekątnych \(=\) liczba boków \(+\,25\). To daje równanie z jedną niewiadomą \(n\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy je:
\[\frac{n(n-3)}{2}=n+25.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(2\), żeby usunąć ułamek:
\[n(n-3)=2n+50.\]
**Krok \(4\).** Wymnażamy i przenosimy wszystko na lewą stronę:
\[n^{2}-3n=2n+50\ \Longrightarrow\ n^{2}-5n-50=0.\]
**Krok \(5\).** Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Wyróżnik:
\[\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot(-50)=25+200=225,\qquad\sqrt{\Delta}=15.\]
Stąd
\[n_{1}=\frac{5-15}{2}=-5,\qquad n_{2}=\frac{5+15}{2}=10.\]
**Krok \(6\).** Wracamy do sensu zadania: \(n\) jest liczbą boków wielokąta, więc musi być liczbą naturalną i \(n\geq3\). Rozwiązanie \(n=-5\) odrzucamy, zostaje \(n=10\).
**Krok \(7\).** Sprawdzamy: dziesięciokąt ma \(\frac{10\cdot(10-3)}{2}=\frac{70}{2}=35\) przekątnych i \(10\) boków, a \(35-10=25\) — zgodnie z warunkiem.
**Uwaga.** Ujemnego pierwiastka nie wolno tu zostawić — liczba boków nie może być ujemna. Warto też sprawdzić, że pozostałe odpowiedzi nie pasują: siedmiokąt ma \(14\) przekątnych (\(14-7=7\)), dwunastokąt \(54\) (\(54-12=42\)), a piętnastokąt \(90\) (\(90-15=75\)).
**Odpowiedź.** B: dziesięciokąt
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Egzamin maturalny z matematyki (poziom podstawowy) – termin główny 2021 r.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2021**
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą.
