Nierówności
Zadanie 98, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.
Odpowiedź
\(15\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie tekstowe oparte na zależności: liczba stron dziennie razy liczba dni daje \(480\). Oznaczmy przez \(x\) liczbę dni, przez które uczeń czytał książkę. Wtedy dziennie czytał \(\frac{480}{x}\) stron. Drugi wariant z treści (o \(8\) stron więcej dziennie, o \(3\) dni krócej) da nam równanie.
**Krok \(2\).** W drugim wariancie uczeń czytałby \(\frac{480}{x}+8\) stron dziennie przez \(x-3\) dni, a książka nadal ma \(480\) stron:
\[\left(\frac{480}{x}+8\right)(x-3)=480.\]
**Krok \(3\).** Wymnażamy nawiasy:
\[\frac{480}{x}\cdot x-\frac{480}{x}\cdot3+8x-24=480,\]
\[480-\frac{1440}{x}+8x-24=480.\]
**Krok \(4\).** Redukujemy \(480\) po obu stronach i mnożymy całość przez \(x\) (możemy, bo \(x\gt0\)):
\[8x-24-\frac{1440}{x}=0\quad\Longrightarrow\quad 8x^{2}-24x-1440=0.\]
Dzielimy przez \(8\):
\[x^{2}-3x-180=0.\]
**Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik:
\[\Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-180)=9+720=729,\qquad\sqrt{729}=27.\]
**Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwiastki:
\[x_{1}=\frac{3-27}{2}=-12,\qquad x_{2}=\frac{3+27}{2}=15.\]
**Krok \(7\).** Liczba dni musi być dodatnia, więc \(x=15\). Sprawdzamy: \(480:15=32\) strony dziennie; przy \(32+8=40\) stronach dziennie książka zajęłaby \(480:40=12\) dni, czyli o \(3\) dni mniej. Zgadza się z treścią.
**Uwaga.** Ujemny pierwiastek \(-12\) trzeba odrzucić - to typowa pułapka w zadaniach tekstowych prowadzących do równania kwadratowego. Pytanie dotyczy liczby dni, a nie liczby stron czytanych dziennie (ta wynosi \(32\)).
**Odpowiedź.** Uczeń czytał tę książkę przez \(15\) dni.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(15\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
