Nierówności
Zadanie 97, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\ \mathrm{km}\) wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\ \mathrm{km/h}\). Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\ \mathrm{km/h}\) większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac9{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?
Odpowiedź
Rowerzysta jadący z \(B\) do \(A\): \(7\ \mathrm{km/h}\); rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\): \(14\ \mathrm{km/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie o ruchu jednostajnym, w którym korzystamy ze wzoru \(s=v\cdot t\), czyli \(t=\frac{s}{v}\). Kluczowa jest obserwacja, że rowerzyści spotkali się w **tej samej chwili**, a ponieważ jeden wyjechał godzinę wcześniej, jego czas jazdy jest o godzinę dłuższy. To da nam równanie.
**Krok \(2\).** Oznaczenia: niech \(v\) będzie średnią prędkością rowerzysty jadącego z \(B\) do \(A\) (w \(\mathrm{km/h}\)), przy czym z treści \(0\lt v\lt25\). Rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\) ma wtedy prędkość \(v+7\).
**Krok \(3\).** Liczymy przebyte drogi. Rowerzysta z \(A\) pokonał \(\frac{9}{13}\) całej trasy:
\[s_A=\frac{9}{13}\cdot182=9\cdot14=126\ \mathrm{km}.\]
Drugi rowerzysta pokonał resztę:
\[s_B=182-126=56\ \mathrm{km}.\]
**Krok \(4\).** Zapisujemy czasy jazdy każdego z nich do miejsca spotkania:
\[t_A=\frac{126}{v+7},\qquad t_B=\frac{56}{v}.\]
**Krok \(5\).** Rowerzysta z \(A\) wyjechał godzinę wcześniej, a spotkali się jednocześnie, więc jechał o godzinę dłużej:
\[\frac{126}{v+7}=\frac{56}{v}+1.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(v(v+7)\) — jest to liczba różna od zera, bo \(v\gt0\):
\[126v=56(v+7)+v(v+7).\]
**Krok \(7\).** Wymnażamy i porządkujemy:
\[126v=56v+392+v^2+7v,\qquad 126v=v^2+63v+392,\]
\[v^2-63v+392=0.\]
**Krok \(8\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki:
\[\Delta=(-63)^2-4\cdot1\cdot392=3969-1568=2401,\qquad \sqrt{\Delta}=49,\]
\[v_1=\frac{63-49}{2}=7,\qquad v_2=\frac{63+49}{2}=56.\]
**Krok \(9\).** Wracamy do warunku z treści: prędkość rowerzysty jadącego z \(B\) do \(A\) jest **mniejsza od** \(25\ \mathrm{km/h}\). Liczba \(56\) tego warunku nie spełnia, więc ją odrzucamy. Zostaje \(v=7\), a stąd \(v+7=14\).
**Krok \(10\).** Sprawdzenie: rowerzysta z \(A\) jechał \(\frac{126}{14}=9\) godzin, a rowerzysta z \(B\) — \(\frac{56}{7}=8\) godzin. Różnica wynosi dokładnie \(1\) godzinę, zgodnie z treścią.
**Uwaga.** Warunek „prędkość mniejsza od \(25\ \mathrm{km/h}\)” nie jest ozdobnikiem — to on rozstrzyga, który pierwiastek równania kwadratowego jest rozwiązaniem zadania. Drugi pierwiastek (\(56\ \mathrm{km/h}\)) jest matematycznie poprawny, ale niezgodny z opisaną sytuacją.
**Odpowiedź.** Rowerzysta jadący z \(B\) do \(A\) jechał ze średnią prędkością \(7\ \mathrm{km/h}\), a rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\) — \(14\ \mathrm{km/h}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(7\) km/h, \(14\) km/h
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
