Ciąg arytmetyczny
Zadanie 99, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a\), \(b\) i \(c\).
Odpowiedź
(a, b, c) = (\(3\), \(15\), \(75\)) lub (\(31\), \(31\), \(31\))
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego. Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są jego pierwszym, drugim i siódmym wyrazem, więc
\[b=a+r,\qquad c=a+6r.\]
Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[(a+r)^{2}=a(a+6r),\qquad a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+6ar,\qquad r^{2}-4ar=0,\qquad r(r-4a)=0.\]
Rozważamy oba przypadki.
Gdy \(r=0\), wszystkie trzy liczby są równe, a z warunku \(3a=93\) otrzymujemy \(a=b=c=31\). Ciąg stały o wyrazie różnym od zera jest geometryczny o ilorazie \(q=1\), więc ten przypadek spełnia warunki zadania.
Gdy \(r=4a\), mamy \(b=5a\) oraz \(c=25a\), a suma daje
\[a+5a+25a=31a=93,\qquad a=3,\]
czyli \((a,b,c)=(3,15,75)\) i iloraz \(q=5\).
**Odpowiedź.** \((a,b,c)=(3,15,75)\) albo \((a,b,c)=(31,31,31)\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \((a,\,b,\,c)=(3,\,15,\,75)\) lub \((31,\,31,\,31)\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.
