Funkcja kwadratowa
Zadanie 31, sierpień 2012, poziom podstawowy
Wykaż, że jeżeli \(c<0\), to trójmian kwadratowy
\[y=x^2+bx+c\]
ma dwa różne miejsca zerowe.
Odpowiedź
Dla \(c\lt0\) zachodzi \(\Delta=b^{2}-4c\gt0\), więc trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie o liczbę miejsc zerowych trójmianu kwadratowego rozstrzyga znak wyróżnika: dwa różne miejsca zerowe istnieją dokładnie wtedy, gdy \(\Delta\gt0\). Naszym zadaniem jest więc wykazać, że przy założeniu \(c\lt0\) wyróżnik jest dodatni.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki trójmianu \(y=x^{2}+bx+c\): przy \(x^{2}\) stoi \(1\), przy \(x\) stoi \(b\), wyrazem wolnym jest \(c\). Wyróżnik wynosi
\[\Delta=b^{2}-4\cdot1\cdot c=b^{2}-4c.\]
**Krok \(3\).** Pierwszy składnik szacujemy z dołu: kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \(b^{2}\geq0\).
**Krok \(4\).** Drugi składnik szacujemy, korzystając z założenia. Skoro \(c\lt0\), to po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną \(-4\) znak nierówności się odwraca:
\[-4c\gt0.\]
**Krok \(5\).** Łączymy oba oszacowania:
\[\Delta=b^{2}+(-4c)\geq0+(-4c)=-4c\gt0.\]
Zatem \(\Delta\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(b\), o ile tylko \(c\lt0\).
**Krok \(6\).** Dodatni wyróżnik oznacza, że trójmian ma dwa różne pierwiastki
\[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2},\qquad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2},\]
a to właśnie mieliśmy wykazać.
**Uwaga.** Nie wystarczy napisać, że \(b^{2}-4c\gt0\), skoro \(c\lt0\). Trzeba połączyć dwa fakty: nieujemność kwadratu \(b^{2}\geq0\) oraz odwrócenie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną, czyli \(-4c\gt0\). O współczynniku \(b\) niczego nie zakładamy i zakładać nie trzeba.
**Odpowiedź.** Dla \(c\lt0\) zachodzi \(\Delta=b^{2}-4c\geq-4c\gt0\), więc trójmian \(y=x^{2}+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.
Klucz i zasady oceniania
2 pkt: pełne uzasadnienie, że wyróżnik jest dodatni i trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 31. (0–2)
Wykaż, że jeżeli c 0 , to trójmian kwadratowy y x2 bx c ma dwa różne miejsca
zerowe.
Rozumowanie i argumentacja Bada funkcję kwadratową.
Rozwiązanie
Zapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego: b2 4c .
Ponieważ c 0 to 4c 0 . Stąd jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego,
czyli jest dodatnia.
A zatem trójmian y x2 bx c ma dwa różne miejsca zerowe.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.
Uwaga:
Jeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów.
