Trójkąty
Zadanie 30, sierpień 2012, poziom podstawowy
Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że
\[|CE|=\frac12|AC|\]
(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(DCE\).
Odpowiedź
\[P_{ABCD}=4\,P_{DCE}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkt \(E\) leży na przedłużeniu przekątnej \(AC\) poza wierzchołek \(C\), więc punkty \(A\), \(C\), \(E\) są współliniowe.
Trójkąty \(ACD\) i \(DCE\) mają podstawy \(AC\) i \(CE\) leżące na tej samej prostej oraz wspólny wierzchołek \(D\), więc mają równe wysokości opuszczone z \(D\). Stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw:
\[\frac{P_{DCE}}{P_{ACD}}=\frac{\lvert CE\rvert}{\lvert AC\rvert}=\frac12,\qquad P_{ACD}=2\,P_{DCE}.\]
Przekątna \(AC\) dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające, zatem
\[P_{ABCD}=2\,P_{ACD}=2\cdot2\,P_{DCE}=4\,P_{DCE},\]
co należało uzasadnić.
**Odpowiedź.** \(P_{ABCD}=4\,P_{DCE}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie związku między polem trójkąta \(ACD\) a polem trójkąta \(DCE\), np. \(P_{DCE}=\frac12P_{ACD}\).
**2 pkt** – wykazanie, że \(P_{ABCD}=4\,P_{DCE}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 30. (0–2)
**Wymaganie ogólne:** rozumowanie i argumentacja.
**Wymaganie szczegółowe:** znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich; wykorzystywanie związku między polami trójkątów o tej samej wysokości.
