Zadanie 32 – matura z matematyki sierpień 2012, poziom podstawowy

\[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\]

Punkt \(B\) leży na prostej \(y=\frac12x\), więc ma postać \(B=\left(t,\frac t2\right)\). Z warunku \(|AC|=|BC|\), gdzie \(A=(2,1)\) i \(C=(1,9)\): \[|AC|^{2}=(2-1)^{2}+(1-9)^{2}=65,\]\[|BC|^{2}=(t-1)^{2}+\left(\frac t2-9\right)^{2}=\frac54t^{2}-11t+82.\] Przyrównując, otrzymujemy \(\frac54t^{2}-11t+17=0\), czyli \(5t^{2}-44t+68=0\). Wyróżnik \(\Delta=576\), więc \[t=\frac{44\pm24}{10}\in\left\{2,\ \frac{34}5\right\}.\] Wartość \(t=2\) daje \(B=A\), co odrzucamy. Zatem \[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right)\)

**1–3 pkt** – równanie wynikające z \(AC=BC\) albo symetralna \(AC\). **4 pkt** – \(B=\left(\tfrac{34}{5},\,\tfrac{17}{5}\right)\).

Zadanie 32. (0–4) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC  BC oraz A   2,1 i C  1, 9 . 1 Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y  x . Oblicz współrzędne wierzchołka B. 2 Użycie i tworzenie strategii Oblicza odległość między punktami, wyznacza środek odcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej, wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej. I sposób rozwiązania: (odległość) 1 Punkt B leży na prostej o równaniu y  x , więc jego współrzędne można zapisać w postaci 2  1  B  x, x . Obliczamy odległość punktu C od punktu A: AC  65 oraz odległość    2  2  x  punktu C od punktu B: BC   x 12   9 . Ponieważ AC  BC , więc możemy    2  2  x  zapisać równanie z jedną niewiadomą  x 12   9  65 , skąd otrzymujemy    2  5 równanie kwadratowe x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 . Równanie to ma dwa 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy 34 rozwiązania x  lub x  2 . Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi 5 do punktu o współrzędnych  2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania  34 17  punkt A, zatem szukany punkt B  , .    5 5  Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania...........................................................................................................1 pkt Obliczenie odległości AC: AC  65 . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt 2 2  x   x   zapisanie równania  x 12   9  65 lub  x 12   9  65 lub      2   2   2 y 12   y  92  65 albo  1  1 y  x y  x    zapisanie układu równań:  2 lub  2   x 12   y  92  65  x 12   y  92  65   Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 5 Doprowadzenie do równania kwadratowego, np. x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 4 lub 5 y2  22 y 17  0 . Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  II sposób rozwiązania: (środek odcinka) Niech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy  22 11  równanie prostej CD: y  2x  11 . Obliczamy współrzędne punktu D  , .    5 5  Wyznaczamy współrzędne punktu B:  x  2 22    2 5  wykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:  y 1 11    2 5 albo  x  2 22    2 5  wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:  1  y  x  2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy albo  porównując długości odcinków AD i DB:  2 2 2 2  22   11   22   11     2    1   x     y     5   5   5   5    1 y  x   2  34 17  Otrzymujemy B  , .    5 5  Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Wyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci y  2x  11 Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt  22 11  Obliczenie współrzędnych punktu D: D  , .    5 5  Uwaga:  y  2x 11  Jeżeli zdający zapisze układ równań:  1 lub analogiczny i popełni błąd y  x   2 rachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  III sposób rozwiązania: (kąt między prostymi) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC: a  8 . Zapisujemy równanie: 1 1 1  8  a 2 2 2  , korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC, 1 4 1 1 a 2 2 28 gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy a : a   (drugie 2 2 2 29 rozwiązanie tego równania a  8 to współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy 2 28 równanie prostej BC: y    x 1  9 , a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej 29 1 i prostej AB o równaniu y  x . Rozwiązujemy układ równań: 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy  28   y   x  1  9   29  1  y  x   2  34 17  Otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: B  , .    5 5  Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt Zapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC: 1 1  8  a 2 2 2  1  4 1 1  a 2 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 28 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC: a   . 2 29 Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , jako punktu wspólnego prostych    5 5  1 28 o równaniach y  x oraz y    x 1  9 . 2 29 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące współrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie rozwiązanie otrzymuje 4 punkty. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy