Zadanie 31 – matura z matematyki sierpień 2011, poziom podstawowy

pierwsze boisko \(56\) m × \(33\) m; drugie \(60\) m × \(25\) m

Zadanie \(31\). (\(5\) punktów) Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa \(65\) m. Boisko w drugiej szkole ma długość o \(4\) m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o \(8\) m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk. Rozwiązanie Oznaczmy długość boiska w pierwszej szkole przez a i szerokość przez b. Wówczas w drugiej szkole długość boiska jest równa a+\(4\), szerokość b−\(8\). Otrzymujemy układ równań ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎪ ⎨ ⎪⎩ (a+\(4\))\(2\) +(b−\(8\))\(2 =652\) Przekształcamy układ do postaci ⎧⎪\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎪⎩\(a_{2}\) +\(8a\)+\(16\)+\(b_{2}\) −\(16b\)+\(64=652\) a następnie ⎧⎪\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎪⎩\(a_{2}\) +\(b_{2}\) +\(8a\)−\(16b\)+\(80=652\) skąd otrzymujemy układ ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎩\(8a\)−\(16b\)+\(80=0\) czyli ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎩a =\(2b\)−\(10\) Podstawiamy wyznaczoną wartość a do pierwszego równania i rozwiązujemy równanie kwadratowe (\(2b\)−\(10\))\(2\) +\(b_{2}\) =\(652\). Po uporządkowaniu otrzymujemy: \(b_{2}\) −\(8b\)−\(825=0\), Δ=\(3364\), Δ =\(58\) Rozwiązaniami tego równania są liczby b=\(33\) oraz b=−\(25\). Odrzucamy ujemne rozwiązanie i obliczamy a=\(56\). Zatem boisko w pierwszej szkole ma \(33m\) szerokości i \(56\) metrów długości, a więc boisko w drugiej szkole ma \(25\) m szerokości i \(60\) m długości. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania..............................................................................................\(1\) pkt Zapisanie jednego z równań \(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) lub (a+\(4\))\(2\) +(b−\(8\))\(2 =652\) \(11\) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp..............................................................................\(2\) pkt ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎪ Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, np.: ⎨ ⎪⎩ (a+\(4\))\(2\) +(b−\(8\))\(2 =652\) Pokonanie zasadniczych trudności zadania.............................................................................\(3\) pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą a lub b w postaci: (\(2b\)−\(10\))\(2\) +\(b_{2}\) =\(652\) lub ⎛\(1\) ⎞ \(1\) \(b_{2}\) −\(8b\)−\(825=0\) lub \(a_{2}\) + a+\(5 =652\) lub \(a_{2}\) +a−\(840=0\). ⎜ ⎟ ⎝\(2\) ⎠ \(4\) Uwaga: Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania zadania (np. błędy rachunkowe)...................................................\(4\) pkt • zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy wymiary boiska w drugiej szkole albo • zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy wymiary boiska w drugiej szkole. Rozwiązanie pełne .....................................................................................................................\(5\) pkt Obliczenie wymiarów boisk w obu szkołach: Boisko w pierwszej szkole ma \(33m\) szerokości i \(56\) metrów długości, natomiast boisko w drugiej szkole ma \(25\) m szerokości i \(60\) m długości. Uwaga: Jeśli zdający odgadnie poprawne wymiary boisk, to otrzymuje \(1\) punkt. \(12\)

**1–4 pkt** – układ zależności i równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa. **5 pkt** – oba komplety wymiarów.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – układa i rozwiązuje równanie opisujące wymiary prostokątów.