Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 32, sierpień 2011, poziom podstawowy
Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:
\((1)\) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,
\((2)\) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
\((3)\) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,
\((4)\) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra \(9\).
Odpowiedź
\(720\)
Rozwiązanie krok po kroku
Warunki dotyczą dwóch niezależnych części zapisu, więc rozbijamy zliczanie: osobno trójka cyfr setek, dziesiątek i jedności, osobno dwie pierwsze cyfry.
**Cyfry setek, dziesiątek i jedności.** Mają być parzyste i tworzyć ciąg ściśle malejący, a przy tym różne od \(9\) — ten ostatni warunek jest tu spełniony automatycznie, bo \(9\) jest nieparzyste. Cyfry parzyste to \(0,2,4,6,8\), czyli pięć wartości. Ponieważ cyfry mają być ustawione malejąco, każdy trzyelementowy podzbiór wyznacza dokładnie jedno dopuszczalne ustawienie — liczymy więc kombinacje, nie wariacje:
\[\binom53=10.\]
**Cyfry dziesiątek tysięcy i tysięcy.** Nie mogą być równe \(9\), a pierwsza dodatkowo nie może być zerem. Pierwsza ma zatem \(8\) możliwości (cyfry \(1\)–\(8\)), a druga \(9\) (cyfry \(0\)–\(8\)). Cyfry te mogą się powtarzać, bo treść tego nie zabrania:
\[8\cdot9=72.\]
Obie części są niezależne, więc z reguły mnożenia
\[10\cdot72=720.\]
**Odpowiedź.** \(720\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – wybór trzech malejących cyfr parzystych i zliczenie dwóch pierwszych pozycji.
**4 pkt** – \(8\cdot 9\cdot\binom{5}{3}=720\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – stosuje regułę mnożenia i kombinacje do zliczania liczb.
