Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 30, sierpień 2011, poziom podstawowy
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się \(10\) kul ponumerowanych liczbami od \(1\) do \(10\). Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Odpowiedź
\(\frac{9}{20}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z każdego pudełka losujemy niezależnie po jednej kuli, więc zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \((a,b)\), gdzie \(a\) to numer kuli czerwonej, a \(b\) — niebieskiej. Wszystkie są jednakowo prawdopodobne i
\[|\Omega|=10\cdot10=100.\]
Zliczamy pary z \(a<b\), grupując je według \(a\): dla \(a=1\) możliwe są \(9\) wartości \(b\), dla \(a=2\) — \(8\), i tak dalej aż do \(a=9\), dla którego zostaje \(1\) wartość. Zatem
\[|A|=9+8+7+\cdots+1=\frac{9\cdot10}{2}=45.\]
Stąd
\[P(A)=\frac{45}{100}=\frac9{20}.\]
Kontrola: pary dzielą się na \(a<b\), \(a>b\) i \(a=b\); przypadków \(a=b\) jest \(10\), a dwa pierwsze zbiory są równoliczne, więc \(\frac{100-10}{2}=45\).
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac9{20}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zliczenie 45 sprzyjających par przy 100 wynikach. 2 pkt: 9/20.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Prawdopodobieństwo i statystyka – oblicza prawdopodobieństwo przez zliczenie uporządkowanych par.
