Równania i nierówności
Zadanie 6, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o \(3\) od niej mniejszą.
a) Podaj wzór funkcji \(f\).
b) Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie
\[f(x)+3=0.\]
Odpowiedź
a) \(f(x)=x(x-3)=x^2-3x\). b) Równanie \(x^2-3x+3=0\) ma wyróżnik \(\Delta=-3<0\), więc nie ma rozwiązań.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pierwsza część zadania to przetłumaczenie opisu słownego na wzór. Liczba o \(3\) mniejsza od \(x\) to \(x-3\), a przyporządkowanie iloczynu tych liczb daje \(f(x)=x\,(x-3)\). Druga część to pytanie o liczbę rozwiązań równania kwadratowego — o tym decyduje znak wyróżnika \(\Delta\), więc samych pierwiastków liczyć nie trzeba.
**Krok \(2\).** Podpunkt a). Zapisujemy wzór i rozwijamy nawias:
\[f(x)=x\,(x-3)=x^2-3x.\]
**Krok \(3\).** Podpunkt b). Podstawiamy wzór do równania \(f(x)+3=0\):
\[x^2-3x+3=0.\]
**Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik tego trójmianu (\(a=1\), \(b=-3\), \(c=3\)):
\[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3.\]
**Krok \(5\).** Wyróżnik jest ujemny, a to oznacza, że równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Można to też zobaczyć na wykresie: parabola \(y=x^2-3x+3\) ma ramiona skierowane w górę i leży w całości nad osią \(Ox\), więc nigdzie jej nie przecina.
**Uwaga.** Uważaj na sformułowanie liczba o \(3\) od niej mniejsza — chodzi o \(x-3\), a nie o \(3-x\) ani o \(\frac{x}{3}\). To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu. Pytanie brzmi też ile rozwiązań, a nie jakie — wystarczy więc obliczyć \(\Delta\) i sformułować wniosek.
**Odpowiedź.** a) \(f(x)=x(x-3)=x^2-3x\). b) Równanie \(x^2-3x+3=0\) ma wyróżnik \(\Delta=-3\lt0\), więc nie ma rozwiązań.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – podanie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=x(x-3)\).
**(1 pkt)** – zapisanie równania \(x^{2}-3x+3=0\).
**(1 pkt)** – obliczenie wyróżnika i sformułowanie odpowiedzi: \(\Delta=-3\), brak rozwiązań.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
