Trójkąty
Zadanie 7, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Pole trójkąta o wierzchołkach \(A=(1,2)\), \(B=(3,0)\), \(C=(2,4)\) można obliczyć, stosując następującą metodę:
- zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\), \(C\);
- rysujemy prostokąt \(KLMN\) w sposób przedstawiony na rysunku (odpowiednie boki prostokąta mają być równoległe do osi układu współrzędnych);
- odczytujemy długości odpowiednich odcinków:
\[|KL|=2,\quad |LM|=4,\quad |AK|=2,\quad |MC|=1,\quad |CN|=1,\quad |NA|=2;\]
- obliczamy pole prostokąta:
\[P_{KLMN}=|KL|\cdot|LM|=2\cdot4=8;\]
- obliczamy pola odpowiednich trójkątów prostokątnych:
\[P_{AKL}=\frac12|AK|\cdot|KL|=\frac12\cdot2\cdot2=2,\]
\[P_{LMC}=\frac12|LM|\cdot|MC|=\frac12\cdot4\cdot1=2,\]
\[P_{CNA}=\frac12|CN|\cdot|NA|=\frac12\cdot1\cdot2=1;\]
- od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów:
\[P_{ABC}=8-(2+2+1)=3.\]
Stosując opisaną wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach \(A=(1,0)\), \(B=(5,1)\), \(C=(3,4)\).
Odpowiedź
\[P_{ABC}=7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rysujemy prostokąt \(KLMN\) o bokach równoległych do osi, opisany na trójkącie: \(K=(1,0)\), \(L=(5,0)\), \(M=(5,4)\), \(N=(1,4)\). Wierzchołek \(A=(1,0)\) pokrywa się z \(K\), punkt \(B=(5,1)\) leży na boku \(LM\), a \(C=(3,4)\) na boku \(MN\).
Odczytujemy długości odcinków:
\[\lvert KL\rvert=4,\ \lvert LB\rvert=1,\ \lvert BM\rvert=3,\ \lvert MC\rvert=2,\ \lvert CN\rvert=2,\ \lvert NK\rvert=4.\]
Pole prostokąta:
\[P_{KLMN}=4\cdot4=16.\]
Pola trzech trójkątów prostokątnych:
\[P_{AKL\text{–}B}=\tfrac12\cdot4\cdot1=2,\qquad P_{BMC}=\tfrac12\cdot3\cdot2=3,\qquad P_{CNA}=\tfrac12\cdot2\cdot4=4.\]
Od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów:
\[P_{ABC}=16-(2+3+4)=7.\]
Kontrola drugą metodą (wzór na pole trójkąta z współrzędnych):
\[P=\tfrac12\left\lvert 1(1-4)+5(4-0)+3(0-1)\right\rvert=\tfrac12\cdot14=7.\]
**Odpowiedź.** \(P_{ABC}=7\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – zaznaczenie w układzie współrzędnych punktów \(ABC\) oraz narysowanie prostokąta \(KLMN\).
**(1 pkt)** – wyznaczenie długości odpowiednich odcinków: \(\lvert KL\rvert=4\), \(\lvert LB\rvert=1\), \(\lvert BM\rvert=3\), \(\lvert MC\rvert=2\), \(\lvert CN\rvert=2\), \(\lvert NK\rvert=4\).
**(1 pkt)** – obliczenie pola prostokąta \(KLMN\): \(16\).
**(1 pkt)** – obliczenie pól odpowiednich trójkątów prostokątnych: \(2\), \(3\) i \(4\).
**(1 pkt)** – wyznaczenie pola trójkąta \(ABC\): \(7\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
