Trygonometria
Zadanie 5, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
W architekturze islamu często stosowanym elementem był „łuk podkowiasty”. Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej. Korzystając z danych na rysunku, oblicz wysokość okna \(h\) i największy prześwit \(d\).
Na rysunku \(|PR|=3\,\mathrm{m}\), a kąt między promieniami \(ST\) i \(SR\) ma miarę \(30^\circ\).
Odpowiedź
\[h=\frac{3\sqrt3}{2}\approx2{,}60\ \mathrm{m},\qquad d=2\sqrt3\approx3{,}46\ \mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy: \(S\) jest środkiem okręgu, \(PR\) — poziomą cięciwą o długości \(3\ \mathrm{m}\), \(O\) — środkiem \(PR\) leżącym pionowo pod \(S\), a promień \(SR\) tworzy z poziomą półprostą \(ST\) kąt \(30^\circ\).
W trójkącie prostokątnym \(SOR\) kąt przy wierzchołku \(S\) między \(SO\) a \(SR\) jest dopełnieniem kąta \(30^\circ\) do kąta prostego, czyli ma miarę \(60^\circ\). Przyprostokątna \(OR\) ma długość \(\tfrac32\ \mathrm{m}\), zatem
\[r=\lvert SR\rvert=\frac{\lvert OR\rvert}{\sin 60^\circ}=\frac{1{,}5}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\sqrt3,\]
\[x=\lvert SO\rvert=\frac{\lvert OR\rvert}{\operatorname{tg}60^\circ}=\frac{1{,}5}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}.\]
Największy prześwit to pozioma średnica przechodząca przez \(S\):
\[d=2r=2\sqrt3\approx3{,}46\ \mathrm{m}.\]
Wysokość okna mierzymy od cięciwy \(PR\) do najwyższego punktu łuku:
\[h=x+r=\frac{\sqrt3}{2}+\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}\approx2{,}60\ \mathrm{m}.\]
**Odpowiedź.** \(h=\dfrac{3\sqrt3}{2}\ \mathrm{m}\approx2{,}60\ \mathrm{m}\), \(d=2\sqrt3\ \mathrm{m}\approx3{,}46\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – obliczenie promienia okręgu: \(r=\frac{1{,}5}{\sin 60^\circ}=\sqrt{3}\).
**(1 pkt)** – obliczenie długości \(x=\lvert SO\rvert\): \(x=\frac{1{,}5}{\operatorname{tg}60^\circ}=0{,}5\sqrt{3}\).
**(1 pkt)** – obliczenie \(d=2\sqrt{3}\).
**(1 pkt)** – obliczenie \(h=1{,}5\sqrt{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
