Równania kwadratowe
Zadanie 6, maj 2012, poziom podstawowy
Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania
\[2x^2+3x-7=0.\]
Suma \(x_1+x_2\) jest równa
**A.** \(-\dfrac72\)
**B.** \(-\dfrac74\)
**C.** \(-\dfrac32\)
**D.** \(-\dfrac34\)
Odpowiedź
**C.** \(-\dfrac{3}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie dotyczy wyłącznie **sumy** pierwiastków, a nie każdego z osobna. Do tego służą wzory Viète'a: dla równania \(ax^2+bx+c=0\) o dwóch rozwiązaniach zachodzi
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\]
Dzięki nim nie musimy w ogóle wyciągać pierwiastka z wyróżnika.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki równania \(2x^2+3x-7=0\):
\[a=2,\qquad b=3,\qquad c=-7.\]
**Krok \(3\).** Upewniamy się, że pierwiastki rzeczywiście istnieją i są różne (o czym zresztą mówi treść):
\[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-7)=9+56=65 \gt 0.\]
**Krok \(4\).** Korzystamy ze wzoru na sumę:
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}.\]
**Krok \(5\).** Kontrola drogą dłuższą: \(x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{4}\), więc
\[x_1+x_2=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}+\frac{-3+\sqrt{65}}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.\]
Pierwiastki się skróciły — wynik ten sam.
**Uwaga.** Łatwo pomylić trzy podobne wyrażenia: \(-\frac{b}{a}=-\frac32\) to suma pierwiastków, \(\frac{c}{a}=-\frac72\) to ich iloczyn (odpowiedź A jest właśnie taką pułapką), a \(-\frac{b}{2a}=-\frac34\) to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli (pułapka D).
**Odpowiedź.** C: \(-\dfrac{3}{2}\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie sumy rozwiązań równania kwadratowego (II.3.a).
