Równania kwadratowe
Zadanie 32, maj 2011, poziom podstawowy
Pewien turysta pokonał trasę \(112\ \mathrm{km}\), przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\ \mathrm{km}\) mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Odpowiedź
Niech x oznacza liczbę dni, a y liczbę kilometrów dziennie. Mamy xy = \(112\) oraz (x + \(3\))(y − \(12\)) = \(112\). Z pierwszego równania y = \(112\)/x. Po podstawieniu: (x + \(3\))(\(112\)/x − \(12\)) = \(112\), czyli \(x^{2}\) + \(3x\) − \(28 = 0\). Dodatnim rozwiązaniem jest x = \(4\), zatem y = \(\frac{112}{4 = 28}\) km.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: zapisanie jednej poprawnej zależności opisującej drogę.
**Krok \(2\).** pkt: zapisanie poprawnego układu równań.
**Krok \(3\).** pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą.
**Krok \(4\).** pkt: rozwiązanie z drobną usterką albo obliczenie tylko liczby dni x = \(4\).
**Krok \(5\).** pkt: obliczenie \(28\) km dziennie.
**Odpowiedź.** Niech x oznacza liczbę dni, a y liczbę kilometrów dziennie. Mamy xy = \(112\) oraz (x + \(3\))(y − \(12\)) = \(112\). Z pierwszego równania y = \(112\)/x. Po podstawieniu: (x + \(3\))(\(112\)/x − \(12\)) = \(112\), czyli \(x^{2}\) + \(3x\) − \(28 = 0\). Dodatnim rozwiązaniem jest x = \(4\), zatem y = \(\frac{112}{4 = 28}\) km.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie jednej poprawnej zależności opisującej drogę.
2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań.
3 pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą.
4 pkt: rozwiązanie z drobną usterką albo obliczenie tylko liczby dni x = 4.
5 pkt: obliczenie 28 km dziennie.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania w kontekście praktycznym prowadzącego do równania kwadratowego z jedną niewiadomą.
