Graniastosłupy
Zadanie 33, maj 2011, poziom podstawowy
Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).
Odpowiedź
\[P_{KLM}=\frac{3\sqrt3}{8}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty \(K\), \(L\), \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu o krawędzi \(1\).
W trójkącie prostokątnym \(ABK\) (kąt prosty przy \(B\)) mamy \(|AB|=1\) oraz \(|BK|=\frac12\), więc
\[|AK|^{2}=1^{2}+\left(\tfrac12\right)^{2}=\frac54.\]
Krawędź \(AE\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(MAK\) jest prostokątny przy \(A\) i
\[|MK|^{2}=|MA|^{2}+|AK|^{2}=\left(\tfrac12\right)^{2}+\frac54=\frac32.\]
Z symetrii sześcianu w ten sam sposób otrzymujemy \(|ML|^{2}=|KL|^{2}=\frac32\), więc trójkąt \(KLM\) jest równoboczny o boku \(\sqrt{\frac32}\).
Pole trójkąta równobocznego o boku \(b\) jest równe \(\frac{b^{2}\sqrt3}4\), zatem
\[P_{KLM}=\frac{\frac32\cdot\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3}8.\]
**Odpowiedź.** \(P_{KLM}=\frac{3\sqrt3}8\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie \(|AK|^{2}=\frac54\)
**3 pkt** – obliczenie boków trójkąta \(KLM\): \(|ML|^{2}=|KL|^{2}=|MK|^{2}=\frac32\) albo równoważne wykazanie, że trójkąt jest równoboczny
**4 pkt** – obliczenie pola \(\frac{3\sqrt3}8\)
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie.
