Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 31, maj 2011, poziom podstawowy
Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.
Odpowiedź
\[\left(\frac{23}5,\frac{31}5\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc prosta \(SP\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac12\) i przechodzi przez \(S=(3,7)\):
\[y=-\frac12(x-3)+7=-\frac12x+\frac{17}2.\]
Punkt styczności jest przecięciem tej prostej z daną styczną:
\[2x-3=-\frac12x+\frac{17}2\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=\frac{23}2\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{23}5,\qquad y=\frac{31}5.\]
**Odpowiedź.** Punkt styczności to \(\left(\frac{23}5,\frac{31}5\right)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie współczynnika −1/2 prostej prostopadłej do stycznej.
2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań prostych.
3 pkt: doprowadzenie układu do równania z jedną niewiadomą.
4 pkt: obliczenie punktu styczności (23/5, 31/5).
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej z okręgiem.
