Równania kwadratowe
Zadanie 10, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są pierwiastkami równania \(x^2+10x-24=0\) i \(x_1<x_2\). Oblicz \(2x_1+x_2\).
**A.** \(-22\)
**B.** \(-17\)
**C.** \(8\)
**D.** \(13\)
Odpowiedź
**A.** \(-22\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W treści jest równanie kwadratowe, ale pytanie dotyczy wyrażenia \(2x_1+x_2\), w którym pierwiastki mają **różne** współczynniki. Wzory Viète'a dają tylko sumę i iloczyn, więc tutaj nie wystarczą — musimy wyznaczyć każdy pierwiastek osobno, a potem rozstrzygnąć, który z nich jest mniejszy.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki równania \(x^2+10x-24=0\):
\[a=1,\qquad b=10,\qquad c=-24.\]
**Krok \(3\).** Liczymy wyróżnik:
\[\Delta=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100+96=196.\]
Ponieważ \(\Delta \gt 0\), równanie ma dwa różne pierwiastki, a \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{196}=14\).
**Krok \(4\).** Wyznaczamy pierwiastki:
\[\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12,\qquad \frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\]
**Krok \(5\).** Warunek \(x_1 \lt x_2\) mówi, że \(x_1\) jest tym mniejszym, czyli
\[x_1=-12,\qquad x_2=2.\]
**Krok \(6\).** Podstawiamy do szukanego wyrażenia:
\[2x_1+x_2=2\cdot(-12)+2=-24+2=-22.\]
**Uwaga.** Cała trudność tkwi w kolejności pierwiastków. Gdyby przypisać odwrotnie (\(x_1=2\), \(x_2=-12\)), otrzymalibyśmy \(2\cdot2+(-12)=-8\), a takiej liczby nie ma nawet wśród odpowiedzi. Wartości liczbowe warto też skontrolować wzorami Viète'a: \(x_1+x_2=-12+2=-10=-\frac{b}{a}\) oraz \(x_1x_2=-12\cdot2=-24=\frac{c}{a}\).
**Odpowiedź.** A: \(-22\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – wykorzystuje pierwiastki równania kwadratowego.
