Równania kwadratowe
Zadanie 26, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Do zbiornika o pojemności \(700\ \mathrm{m}^3\) można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o \(5\ \mathrm{m}^3\) wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o \(16\) godzin krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.
Odpowiedź
Obie rury naraz napełnią zbiornik w \(\tfrac{70}{3}=23\tfrac13\) godziny, czyli w \(23\) godziny i \(20\) minut.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(v\) oznacza wydajność drugiej rury w \(\mathrm{m^3/h}\); wtedy pierwsza ma
wydajność \(v+5\). Z warunków zadania \(v>0\).
Czasy napełniania samą pierwszą i samą drugą rurą to \(\dfrac{700}{v+5}\)
i \(\dfrac{700}{v}\), a różnica tych czasów wynosi \(16\) godzin:
\[\frac{700}{v}-\frac{700}{v+5}=16.\]
Mnożymy obie strony przez \(v(v+5)>0\):
\[700(v+5)-700v=16v(v+5),\qquad 3500=16v^2+80v,\]
czyli \(16v^2+80v-3500=0\), a po podzieleniu przez \(4\)
\[4v^2+20v-875=0.\]
Wyróżnik \(\Delta=400+4\cdot4\cdot875=14400\), \(\sqrt{\Delta}=120\), więc
\[v=\frac{-20+120}{8}=12{,}5\qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-20-120}{8}=-17{,}5.\]
Drugie rozwiązanie odrzucamy, bo wydajność jest dodatnia.
Zatem \(v=12{,}5\;\mathrm{m^3/h}\) i \(v+5=17{,}5\;\mathrm{m^3/h}\), a razem
\(30\;\mathrm{m^3/h}\). Czas napełniania obiema rurami:
\[t=\frac{700}{30}=\frac{70}{3}=23\frac13\ \text{godziny}.\]
**Odpowiedź.** \(23\) godziny i \(20\) minut.
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.
