Inne zagadnienia
Zadanie 27, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o \(1\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac49.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ścianki kostki traktujemy jako rozróżnialne, więc pojedynczy rzut ma \(6\) jednakowo prawdopodobnych wyników, a dwa rzuty
\[|\Omega|=6\cdot6=36.\]
Z treści zadania odczytujemy, ile ścianek odpowiada każdej liczbie oczek: jedna ścianka z jednym oczkiem, dwie ścianki z dwoma oczkami, trzy ścianki z trzema oczkami. Prawdopodobieństwa w jednym rzucie wynoszą więc
\[P(1)=\frac16,\qquad P(2)=\frac26=\frac13,\qquad P(3)=\frac36=\frac12.\]
Liczby oczek różnią się o \(1\) w czterech przypadkach: \((1,2)\), \((2,1)\), \((2,3)\), \((3,2)\). Rzuty są niezależne, więc
\[P(A)=2\cdot P(1)P(2)+2\cdot P(2)P(3)=2\cdot\frac16\cdot\frac13+2\cdot\frac13\cdot\frac12=\frac19+\frac13=\frac49.\]
Ten sam wynik daje zliczanie par ścianek:
\[|A|=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot3+3\cdot2=16,\qquad P(A)=\frac{16}{36}=\frac49.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac49\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(P(A)=\frac49\)
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu probabilistycznego dla kostki o niejednakowej liczbie ścianek z daną liczbą oczek oraz obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia w doświadczeniu dwuetapowym.
