Inne zagadnienia
Zadanie 31, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(540\ \mathrm{km}\). Pociąg jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta \(B\) do miasta \(A\) i jechał z prędkością o \(9\ \mathrm{km/h}\) mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Odpowiedź
Pociąg z \(A\) jechał z prędkością \(45\ \mathrm{km/h}\), a pociąg z \(B\) — \(54\ \mathrm{km/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Pociągi minęły się w połowie drogi, więc każdy z nich przejechał do momentu spotkania
\[\frac{540}{2}=270\ \mathrm{km}.\]
Oznaczmy przez \(v\) prędkość pociągu jadącego z miasta \(B\) (w \(\mathrm{km/h}\)). Pociąg z miasta \(A\) jechał z prędkością o \(9\ \mathrm{km/h}\) mniejszą, czyli \(v-9\), przy czym \(v>9\), żeby prędkość była dodatnia.
Czas przejazdu wyznaczamy ze wzoru \(t=\frac{s}{v}\). Pociąg z \(A\) wyjechał godzinę wcześniej, a obaj byli w punkcie spotkania w tej samej chwili, więc jego czas jazdy był o godzinę dłuższy:
\[\frac{270}{v-9}=\frac{270}{v}+1.\]
Mnożymy obie strony przez \(v(v-9)\ne0\):
\[270v=270(v-9)+v(v-9),\]
\[270v=270v-2430+v^{2}-9v,\]
\[v^{2}-9v-2430=0.\]
Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta=81+4\cdot2430=9801,\qquad \sqrt\Delta=99,\]
\[v=\frac{9\pm99}{2}.\]
Otrzymujemy \(v=54\) lub \(v=-45\); warunek \(v>9\) spełnia tylko \(v=54\).
Zatem pociąg z miasta \(B\) jechał z prędkością \(54\ \mathrm{km/h}\), a pociąg z miasta \(A\) — \(54-9=45\ \mathrm{km/h}\).
Sprawdzenie: \(\frac{270}{45}=6\ \mathrm{h}\), \(\frac{270}{54}=5\ \mathrm{h}\), różnica wynosi \(1\) godzinę.
**Odpowiedź.** \(45\ \mathrm{km/h}\) oraz \(54\ \mathrm{km/h}\)
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: \(45\ \mathrm{km/h}\) i \(54\ \mathrm{km/h}\)
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu matematycznego zadania o ruchu (zależność droga–prędkość–czas), doprowadzenie równania wymiernego do kwadratowego i odrzucenie rozwiązania sprzecznego z warunkami zadania.
