Inne zagadnienia
Zadanie 32, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.
Odpowiedź
\[P=\frac{19}{54}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Losowania z obu pojemników są niezależne, więc prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej pary kolorów jest iloczynem prawdopodobieństw.
W pierwszym pojemniku jest \(9\) kul, w drugim \(6\). Prawdopodobieństwa wylosowania kuli danego koloru wynoszą:
\[\text{pojemnik I:}\quad P(\text{b})=\frac49,\ P(\text{cz})=\frac39,\ P(\text{z})=\frac29,\]
\[\text{pojemnik II:}\quad P(\text{b})=\frac26,\ P(\text{cz})=\frac36,\ P(\text{z})=\frac16.\]
Zdarzenie „dwie kule tego samego koloru” jest sumą trzech zdarzeń wykluczających się: obie białe, obie czarne, obie zielone. Zatem
\[P=\frac49\cdot\frac26+\frac39\cdot\frac36+\frac29\cdot\frac16=\frac{8}{54}+\frac{9}{54}+\frac{2}{54}=\frac{19}{54}.\]
**Odpowiedź.** \(P=\frac{19}{54}\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(P=\frac{19}{54}\)
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie prawdopodobieństwa w doświadczeniu dwuetapowym z niezależnymi losowaniami oraz stosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się.
