Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-4,-2)\), \(B=(5,4)\).
a) Oblicz odległość punktu \(C=(-1,4)\) od prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
b) Uzasadnij, że jeśli \(m\neq0\), to punkty \(A\), \(B\) oraz punkt \(D=(-1,m)\) są wierzchołkami trójkąta.
Odpowiedź
a) Prosta \(AB\colon 2x-3y+2=0\), a odległość punktu \(C\) od niej wynosi \(\dfrac{12}{\sqrt{13}}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\). b) Punkt \(D=(-1,m)\) leży na prostej \(AB\) tylko dla \(m=0\), więc dla \(m\neq0\) punkty \(A\), \(B\), \(D\) nie są współliniowe i tworzą trójkąt (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzia. W podpunkcie a) potrzebna jest odległość punktu od prostej, a wzór na nią
\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
wymaga równania prostej w postaci OGÓLNEJ \(Ax+By+C=0\). Zaczynamy więc od wyznaczenia równania prostej \(AB\). W podpunkcie b) korzystamy z faktu, że trzy punkty są wierzchołkami trójkąta dokładnie wtedy, gdy NIE leżą na jednej prostej.
**Krok \(2\).** Liczymy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) dla \(A=(-4,-2)\) i \(B=(5,4)\):
\[a=\frac{4-(-2)}{5-(-4)}=\frac{6}{9}=\frac23.\]
**Krok \(3\).** Wyznaczamy wyraz wolny, wstawiając punkt \(A\) do \(y=\frac23x+b\):
\[-2=\frac23\cdot(-4)+b,\qquad -2=-\frac83+b,\qquad b=-2+\frac83=\frac23.\]
Zatem \(AB:\ y=\frac23x+\frac23\).
**Krok \(4\).** Zamieniamy na postać ogólną — mnożymy obie strony przez \(3\) i przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[3y=2x+2,\qquad 2x-3y+2=0.\]
(Kontrola: dla \(B=(5,4)\) mamy \(10-12+2=0\ \checkmark\))
**Krok \(5\).** Podpunkt a). Wstawiamy \(C=(-1,4)\) oraz \(A=2\), \(B=-3\), \(C_{\text{ogólne}}=2\) do wzoru na odległość:
\[d=\frac{|2\cdot(-1)-3\cdot 4+2|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|-2-12+2|}{\sqrt{4+9}}=\frac{12}{\sqrt{13}}.\]
**Krok \(6\).** Usuwamy niewymierność z mianownika:
\[d=\frac{12}{\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{13}}{13}\approx 3{,}33.\]
**Krok \(7\).** Podpunkt b). Punkty \(A\), \(B\), \(D\) tworzą trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Sprawdzamy więc, kiedy punkt \(D=(-1,m)\) LEŻY na prostej \(AB\) — wstawiamy jego współrzędne do równania \(2x-3y+2=0\):
\[2\cdot(-1)-3m+2=0.\]
**Krok \(8\).** Rozwiązujemy to równanie:
\[-2-3m+2=0,\qquad -3m=0,\qquad m=0.\]
Punkt \(D\) leży na prostej \(AB\) wyłącznie dla \(m=0\).
**Krok \(9\).** Wyciągamy wniosek: dla każdego \(m\neq 0\) punkt \(D=(-1,m)\) NIE leży na prostej \(AB\), więc punkty \(A\), \(B\), \(D\) nie są współliniowe, a zatem są wierzchołkami trójkąta — co należało uzasadnić.
**Uwaga.** W podpunkcie b) uzasadnienie polega na pokazaniu, że warunek współliniowości prowadzi jedynie do \(m=0\) — nie trzeba liczyć żadnych długości ani pól (choć można też skorzystać z faktu, że pole trójkąta jest niezerowe). Pamiętaj o wartości bezwzględnej w liczniku wzoru na odległość: bez niej dostalibyśmy \(-\frac{12}{\sqrt{13}}\), a odległość nie może być ujemna.
**Odpowiedź.** a) Prosta \(AB\colon 2x-3y+2=0\), a odległość punktu \(C\) od niej wynosi \(\dfrac{12}{\sqrt{13}}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\). b) Punkt \(D=(-1,m)\) leży na prostej \(AB\) tylko dla \(m=0\), więc dla \(m\neq0\) punkty \(A\), \(B\), \(D\) nie są współliniowe i tworzą trójkąt (dowód w rozwiązaniu).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**4.1. (1 pkt)** – zapisanie równania prostej \(AB\): \(2x-3y+2=0\).
**4.2. (1 pkt)** – obliczenie odległości punktu \(C\) od prostej \(AB\): \(\frac{12}{13}\sqrt{13}\).
**4.3. (1 pkt)** – zapisanie warunku, przy którym punkt \(D\) leży na prostej \(AB\): \(2(-1)-3m+2=0\) stąd \(m=0\).
**4.4. (1 pkt)** – stwierdzenie i zapisanie, że dla \(m\neq 0\) punkty \(A\), \(B\) i \(D\) są wierzchołkami trójkąta.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
