Potęgi i pierwiastki
Zadanie 56, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym
\[\lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert.\]
Wierzchołek \(P\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\).
Odpowiedź
\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad\lvert AP\rvert=\frac{5\sqrt{41}}4.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(P\) leży na osi \(Ox\), przyjmujemy \(P=(x,0)\). Z warunku \(\lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert\) po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy
\[(x-2)^2+8^2=(x-10)^2+2^2.\]
Po uproszczeniu \(16x=36\), więc \(x=\frac94\). Następnie
\[\lvert AP\rvert=\sqrt{(\frac94-2)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyniki \(P=(\frac94,0)\) i \(\lvert AP\rvert=\frac{5\sqrt{41}}4\)
**3 pkt** – obliczenie punktu \(P=(\frac94,0)\)
**2 pkt** – poprawne równanie odległości wraz z \(y_P=0\)
**1 pkt** – zapisanie \(P=(x,0)\) albo równania \(AP=BP\) we współrzędnych
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
I.3) Stosuje własności pierwiastków.
