Równania i nierówności
Zadanie 3, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy
Suma dwóch liczb jest równa \(\sqrt7\), a ich różnica \(\sqrt3\). Oblicz iloczyn tych liczb.
Odpowiedź
Iloczyn tych liczb jest równy \(1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Znamy sumę i różnicę dwóch liczb, a szukamy ich iloczynu. Nie trzeba wyznaczać samych liczb — wystarczy zauważyć, że iloczyn wiąże się z sumą i różnicą przez wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy.
**Krok \(2\).** Oznaczmy szukane liczby przez \(x\) i \(y\). Z treści:
\[x+y=\sqrt7,\qquad x-y=\sqrt3.\]
**Krok \(3\).** Podnosimy obie równości do kwadratu:
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=7,\]
\[(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=3.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy drugą równość od pierwszej. Wyrazy \(x^2\) i \(y^2\) się redukują:
\[4xy=7-3=4.\]
**Krok \(5\).** Stąd
\[xy=1.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzenie. Z układu w kroku \(2\) mamy \(x=\dfrac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\) i \(y=\dfrac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\), więc
\[xy=\frac{\left(\sqrt7\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2}{4}=\frac{7-3}{4}=1.\]
Wynik się zgadza.
**Uwaga.** Nie daj się zwieść pierwiastkom w danych — po podniesieniu do kwadratu znikają, bo \(\left(\sqrt7\right)^2=7\) i \(\left(\sqrt3\right)^2=3\). Liczenie samych \(x\) i \(y\) jest dłuższe i łatwiej w nim o pomyłkę.
**Odpowiedź.** Iloczyn tych liczb jest równy \(1\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**3.1. (1 pkt)** – zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: \(\begin{cases}x+y=\sqrt{7}\\ x-y=\sqrt{3}\end{cases}\)
**3.2. (2 pkt)** – rozwiązanie układu równań: \(x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}\) i \(y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}\).
**3.3. (1 pkt)** – obliczenie iloczynu szukanych liczb: \(x\cdot y=1\).
**II sposób rozwiązania:**
**3.1. (1 pkt)** – zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: \(\begin{cases}x+y=\sqrt{7}\\ x-y=\sqrt{3}\end{cases}\)
**3.2. (2 pkt)** – podniesienie stron każdego z równań do kwadratu i zapisanie układu: \(\begin{cases}x^{2}+2xy+y^{2}=7\\ x^{2}-2xy+y^{2}=3\end{cases}\)
**3.3. (1 pkt)** – obliczenie iloczynu szukanych liczb: \(x\cdot y=1\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
