Zadanie 7 – matura z matematyki zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy

Teza wynika stąd, że w trójkącie prostokątnym \(\beta=90^\circ-\alpha\), więc \(\sin\beta=\cos\alpha=\frac34\), \(\cos\beta=\frac{\sqrt7}{4}\) i \(\operatorname{tg}\beta=\frac{3}{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}\approx1{,}13\), a to przeczy warunkowi \(\operatorname{tg}\beta=\frac43\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Mamy wykazać, że pewien obiekt nie istnieje. Takie dowody prowadzi się nie wprost: zakładamy, że taki trójkąt prostokątny istnieje, wyciągamy z tego wnioski i dochodzimy do sprzeczności. Punktem wyjścia jest fakt, że w trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \(90^{\circ}\). **Krok \(2\).** Załóżmy więc, że istnieje trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) i \(\beta\). Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^{\circ}\), a jeden z nich jest prosty, więc \[\alpha+\beta=90^{\circ},\qquad\text{czyli}\qquad \beta=90^{\circ}-\alpha.\] **Krok \(3\).** Dla kątów dopełniających się do \(90^{\circ}\) zachodzi \(\sin\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cos\alpha\). Zatem z danej \(\cos\alpha=\frac34\) wynika \[\sin\beta=\cos\alpha=\frac{3}{4}.\] **Krok \(4\).** Kąt \(\beta\) jest ostry, więc \(\cos\beta\gt 0\) i z jedynki trygonometrycznej \[\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.\] **Krok \(5\).** Obliczamy tangens tego kąta: \[\mathrm{tg}\,\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\frac34}{\frac{\sqrt7}{4}}=\frac{3}{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}.\] **Krok \(6\).** Porównujemy z wartością podaną w treści. Zamiast liczyć przybliżenia, porównajmy kwadraty obu dodatnich liczb: \[\left(\frac{3}{\sqrt7}\right)^2=\frac{9}{7},\qquad \left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}.\] Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(63\): \(\frac{9}{7}=\frac{81}{63}\) oraz \(\frac{16}{9}=\frac{112}{63}\). Te liczby są różne, więc \[\frac{3\sqrt7}{7}\ne\frac{4}{3}.\] Dla orientacji: \(\frac{3\sqrt7}{7}\approx 1{,}13\), a \(\frac43\approx 1{,}33\). **Krok \(7\).** Otrzymaliśmy sprzeczność: z założenia, że trójkąt jest prostokątny i \(\cos\alpha=\frac34\), wynika \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac{3\sqrt7}{7}\), a treść wymaga \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac43\). Oba warunki nie mogą zachodzić jednocześnie, więc taki trójkąt nie istnieje. **Uwaga.** Długość przeciwprostokątnej \(24\) jest w tym rozumowaniu zupełnie niepotrzebna, bo sprzeczność wynika już z samych kątów; to dana nadmiarowa. Można też rozumować rachunkowo: z \(\cos\alpha=\frac34\) przyprostokątna przyległa do \(\alpha\) ma długość \(24\cdot\frac34=18\), a z \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac43\) druga przyprostokątna wynosiłaby \(18\cdot\frac34=13{,}5\); wtedy \(18^2+13{,}5^2=506{,}25\), a \(24^2=576\), więc twierdzenie Pitagorasa nie zachodzi. **Odpowiedź.** Taki trójkąt nie istnieje: w trójkącie prostokątnym z \(\cos\alpha=\frac34\) wynika \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac{3\sqrt7}{7}\approx 1{,}13\), a to jest sprzeczne z warunkiem \(\mathrm{tg}\,\beta=\frac43\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – obliczenie przybliżonej wartości kąta \(\alpha\): \(\alpha\approx 41^{\circ}\). **7.2. (1 pkt)** – obliczenie przybliżonej wartości kąta: \(\beta\approx 53^{\circ}\). **7.3. (1 pkt)** – oszacowanie sumy kątów \(\alpha\) i \(\beta\): \(\alpha+\beta>90^{\circ}\). Wystarczy obliczenie przybliżonej wartości sumy tych kątów. **7.4. (1 pkt)** – stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. **II sposób rozwiązania:** **7.1. (1 pkt)** – obliczenie \(\sin\beta\) (na podstawie równości \(\sin\beta=\cos\alpha\)): \(\sin\beta=\frac{3}{4}\). **7.2. (1 pkt)** – obliczenie \(\cos\beta\): \(\cos\beta=\frac{\sqrt{7}}{4}\). **7.3. (1 pkt)** – obliczenie \(\tg\beta\): \(\tg\beta=\frac{3\sqrt{7}}{7}\). **7.4. (1 pkt)** – porównanie uzyskanego wyniku z wartością funkcji \(\tg\beta\) daną w zadaniu i stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. **III sposób rozwiązania:** **7.1. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej \(AC\): \(\frac{AC}{AB}=\cos\alpha\) stąd \(AC=18\). (rysunek: \(B\), \(\beta\), \(24\), \(\alpha\), \(C\), \(A\)) **7.2. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji tangens i obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\): \(\frac{AC}{BC}=\tg\beta\) stąd \(BC=\frac{27}{2}\). **7.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych i kwadratu przeciwprostokątnej: \(AC^{2}+BC^{2}=(18)^{2}+\left(\frac{27}{2}\right)^{2}=506\frac{1}{4}\), \(AB^{2}=576\). **7.4. (1 pkt)** – uzyskanie sprzeczności \(AC^{2}+BC^{2}\neq AB^{2}\) i zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. **IV sposób rozwiązania:** **7.1. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej \(AC\): \(\frac{AC}{AB}=\cos\alpha\) stąd \(AC=18\). **7.2. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\): \(BC=6\sqrt{7}\). **7.3. (1 pkt)** – wykorzystanie funkcji tangens i obliczenie tangensa kąta \(\beta\): \(\tg\beta=\frac{3}{\sqrt{7}}\). **7.4. (1 pkt)** – uzyskanie sprzeczności: \(\tg\beta=\frac{3}{\sqrt{7}}\) i z warunków zadania \(\tg\beta=\frac{4}{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.