Trójkąty
Zadanie 24.2, maj 2026, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) ma współrzędne
**A.** \((\frac{2}{3},0)\)
**B.** \((-\frac{1}{2},0)\)
**C.** \((0,-\frac{2}{3})\)
**D.** \((0,-\frac{1}{2})\)
Podpowiedź
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Najdłuższym bokiem jest pionowy odcinek \(AC\).
Rozwiązanie
Mamy \(AC^2=5^2=25\), \(AB^2=2^2+4^2=20\) oraz \(BC^2=2^2+(-1)^2=5\), więc \(AB^2+BC^2=AC^2\). Przeciwprostokątną jest \(AC\). Jej środek ma współrzędne \[S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right).\] Poprawna jest odpowiedź D.
Sprawdzenie
Punkt \(S\) jest jednakowo odległy od \(A\) i \(C\), po \(\frac52\), a także od punktu \(B\).
Odpowiedź
**D.** Środek okręgu ma współrzędne \((0,-\frac{1}{2})\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy kwadraty długości boków:
\[\lvert AB\rvert^2=(2-0)^2+(1+3)^2=20,\qquad \lvert BC\rvert^2=(0-2)^2+(2-1)^2=5,\]
\[\lvert AC\rvert^2=(0-0)^2+(2+3)^2=25.\]
Ponieważ \(20+5=25\), z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt prosty jest przy wierzchołku \(B\), a przeciwprostokątną jest \(AC\).
Kąt prosty trójkąta jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc środek okręgu opisanego to środek odcinka \(AC\):
\[S=\left(\frac{0+0}{2},\ \frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right).\]
**Odpowiedź.** D. \(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.10) Zdający wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: […] środek okręgu opisanego na trójkącie […].
