Równania i nierówności
Zadanie 55, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie
\[S=\left(\frac{11}{2},\frac{17}{2}\right).\]
Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=x-2\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=3x-6\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).
Odpowiedź
\[B=(4,2).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(A\) jest przecięciem prostych \(y=x-2\) i \(y=3x-6\), więc \(A=(2,0)\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\), zatem
\[C=2S-A=(11,17)-(2,0)=(9,17).\]
Prosta \(BC\) jest równoległa do \(AD\), więc ma współczynnik kierunkowy \(3\) i przechodzi przez \(C\):
\[y-17=3(x-9),\qquad y=3x-10.\]
Punkt \(B\) leży również na \(AB:y=x-2\). Rozwiązując \(x-2=3x-10\), otrzymujemy \(x=4\), \(y=2\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(B=(4,2)\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(BC:y=3x-10\) albo równoważna metoda ze środkiem boku
**2 pkt** – obliczenie \(C=(9,17)\) albo równoważny istotny etap
**1 pkt** – obliczenie \(A=(2,0)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.1) Zdający znajduje punkt wspólny prostych.
IX.2) Posługuje się równaniami prostych i równoległością.
