Geometria analityczna
Zadanie 24, czerwiec 2024, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).
**Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P=\left(\frac94,0\right),\qquad |AP|=\frac{5\sqrt{41}}4.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne
\[M=\left(\frac{2+10}{2},\frac{8+2}{2}\right)=(6,5).\]
Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy
\[a_{AB}=\frac{2-8}{10-2}=-\frac34.\]
Symetralna odcinka \(AB\) jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(M\), ma równanie
\[y-5=\frac43(x-6),\]
czyli
\[y=\frac43x-3.\]
Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), zatem \(y=0\). Stąd
\[0=\frac43x-3,\qquad x=\frac94,\]
a więc
\[P=\left(\frac94,0\right).\]
Długość odcinka \(AP\) jest równa
\[|AP|=\sqrt{\left(\frac94-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\frac1{16}+64}=\frac{5\sqrt{41}}4.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz oba wyniki: \(P=\left(\frac94,0\right)\), \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}4\)
**3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(P=\left(\frac94,0\right)\)
**2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej \(y=\frac43x-3\), zapisanie równoważnego układu albo równoważnego warunku wyznaczającego punkt \(P\)
**1 pkt** – zapisanie \(M=(6,5)\), wyznaczenie \(a_{AB}=-\frac34\), zapisanie równania prostej \(AB\), warunku \(y_P=0\) albo równania \(|AP|=|BP|\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych.
IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach.
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
