Geometria analityczna
Zadanie 32, sierpień 2015, poziom podstawowy
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach
\[A=(-2,2),\qquad B=(6,-2),\qquad C=(10,6).\]
Odpowiedź
\[y=-3x+16.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy \(|AB|^2=8^2+(-4)^2=80\) oraz \(|BC|^2=4^2+8^2=80\), więc trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AC\). Oś symetrii przechodzi przez \(B\) i środek podstawy \[M=\left(\frac{-2+10}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4).\] Jej współczynnik kierunkowy wynosi \[m=\frac{4-(-2)}{4-6}=-3.\] Zatem \(y+2=-3(x-6)\), czyli \(y=-3x+16\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne równanie osi \(y=-3x+16\)
**3 pkt** – wyznaczenie środka \(M=(4,4)\) i współczynnika kierunkowego \(-3\), lecz brak poprawnego równania końcowego
**2 pkt** – wyznaczenie środka odcinka \(AC\) i wskazanie osi jako prostej \(BM\)
**1 pkt** – poprawne rozpoznanie, że oś symetrii jest symetralną boku \(AC\), lub równoważny istotny postęp
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, odległość punktów, środek odcinka i równanie prostej.
