Trójkąty
Zadanie 31, sierpień 2015, poziom podstawowy
W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).
Odpowiedź
\[P_{APR}=P_{ADR}+P_{PCR}=\frac38P_{ABCD}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|AB|=a\) i \(|AD|=b\). Ponieważ \(R\) i \(P\) są środkami odpowiednich boków, \(|DR|=\frac a2\) i \(|PC|=\frac b2\). Stąd \[P_{ADR}=\frac12\cdot\frac a2\cdot b=\frac{ab}{4},\qquad P_{PCR}=\frac12\cdot\frac b2\cdot\frac a2=\frac{ab}{8}.\] W układzie współrzędnych możemy przyjąć \(A=(0,0)\), \(P=(a,\frac b2)\), \(R=(\frac a2,b)\). Z wyznacznika otrzymujemy \[P_{APR}=\frac12\left|a\cdot b-\frac b2\cdot\frac a2\right|=\frac{3ab}{8}.\] Ponieważ \(\frac{ab}{4}+\frac{ab}{8}=\frac{3ab}{8}\), teza jest prawdziwa.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne wykazanie równości pól
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie pól cząstkowych lub równoważny istotny postęp
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria płaska, pola trójkątów w prostokącie.
