Ostrosłupy
Zadanie 33, sierpień 2015, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{640\sqrt3}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech boki podstawy mają długości \(3k\) i \(4k\). Z warunku pola \(12k^2=192\) otrzymujemy \(k=4\), więc boki mają długości \(12\) i \(16\). Przekątna podstawy ma długość \[d=\sqrt{12^2+16^2}=20,\] zatem \(AE=10\). W trójkącie prostokątnym \(SAE\) kąt nachylenia krawędzi \(SA\) do podstawy ma miarę \(30^\circ\), więc \[SE=AE\tan30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{10\sqrt3}{3}.\] Objętość ostrosłupa wynosi \[V=\frac13\cdot192\cdot\frac{10\sqrt3}{3}=\frac{640\sqrt3}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna objętość \(\frac{640\sqrt3}{3}\)
**3 pkt** – wyznaczenie wysokości \(SE=\frac{10\sqrt3}{3}\), lecz błąd lub brak w obliczeniu objętości
**2 pkt** – wyznaczenie boków \(12,16\), przekątnej \(20\) i odcinka \(AE=10\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie boków podstawy \(12\) i \(16\) lub równoważny istotny postęp
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, ostrosłup, kąt nachylenia prostej do płaszczyzny i objętość.
