Ostrosłupy
Zadanie 33, sierpień 2012, poziom podstawowy
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Odpowiedź
\[\sin\alpha=\frac{\sqrt{42}}{7}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(ACS\) jest równoboczny o boku \(8\), a odcinek \(AC\) jest przekątną kwadratowej podstawy. Wysokość ostrosłupa opuszczona z \(S\) pada w środku \(O\) tego kwadratu, czyli w środku odcinka \(AC\), więc jest zarazem wysokością trójkąta równobocznego:
\[H=\frac{8\sqrt3}2=4\sqrt3.\]
Z długości przekątnej wyznaczamy krawędź podstawy:
\[a\sqrt2=8\quad\Longrightarrow\quad a=4\sqrt2,\qquad \frac a2=2\sqrt2.\]
Wysokość ściany bocznej (odcinek \(SE\), gdzie \(E\) jest środkiem krawędzi podstawy) obliczamy z trójkąta prostokątnego \(SOE\):
\[h=\sqrt{H^{2}+\left(\tfrac a2\right)^{2}}=\sqrt{48+8}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.\]
Kąt \(\alpha\) nachylenia ściany bocznej do podstawy leży właśnie w tym trójkącie, przy wierzchołku \(E\), więc
\[\sin\alpha=\frac{H}{h}=\frac{4\sqrt3}{2\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{42}}{14}=\frac{\sqrt{42}}7.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{42}}7\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – obliczenie wysokości ostrosłupa \(H=4\sqrt3\) **albo** długości krawędzi podstawy \(a=4\sqrt2\)
**2 pkt** – zasadnicze trudności pokonane, ale z błędami rachunkowymi
**3 pkt** – obliczenie wysokości ściany bocznej \(h=2\sqrt{14}\) oraz wysokości ostrosłupa \(H=4\sqrt3\)
**4 pkt** – obliczenie \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{42}}7\)
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** Użycie i tworzenie strategii.
**Wymaganie szczegółowe:** zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach, stosuje własności trójkąta równobocznego i prostokątnego oraz definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
