Zadanie 30 – matura z matematyki próbna listopad 2009, poziom podstawowy

Ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\); jego różnica wynosi \(r=\frac{3-m}{12}\).

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy różnice kolejnych wyrazów są równe, czyli gdy \(a_2-a_1=a_3-a_2\). Obliczamy obie różnice, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika \(12\): \[a_2-a_1=\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}=\frac{2(m+3)-3(m+1)}{12}=\frac{3-m}{12},\] \[a_3-a_2=\frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}=\frac{(m+9)-2(m+3)}{12}=\frac{3-m}{12}.\] Obie różnice są równe \(\frac{3-m}{12}\) niezależnie od wartości \(m\), więc dany ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\), a jego różnica wynosi \(r=\frac{3-m}{12}\). Równoważnie: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, bo \[\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}}{2}=\frac{\frac{3(m+1)+(m+9)}{12}}{2}=\frac{4m+12}{24}=\frac{m+3}{6}=a_2.\]

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób rozwiązania:** Wystarczy sprawdzić, że zachodzi następujący związek między sąsiednimi wyrazami ciągu: \(a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\). Mamy \(a_{1}=\frac{m+1}{4}\), \(a_{2}=\frac{m+3}{6}\), \(a_{3}=\frac{m+9}{12}\). Zatem \(\frac{a_{1}+a_{3}}{2}=\frac{\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}}{2}=\frac{3m+3+m+9}{24}=\frac{4m+12}{24}=\frac{m+3}{6}=a_{2}\). Stąd wynika, że ciąg \(\left(\frac{m+1}{4},\frac{m+3}{6},\frac{m+9}{12}\right)\) jest arytmetyczny dla każdego \(m\). **II sposób rozwiązania:** Mamy \(a_{1}=\frac{m+1}{4}\), \(a_{2}=\frac{m+3}{6}\), \(a_{3}=\frac{m+9}{12}\). Wystarczy sprawdzić, że \(a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\). Obliczamy: \[\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}=\frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}\]\[\frac{2m+6-3m-3}{12}=\frac{m+9-2m-6}{12}\]\[\frac{-m+3}{12}=\frac{-m+3}{12}\]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.