Inne zagadnienia
Zadanie 14, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy
Punkty
\[A=(-6-2\sqrt2,\ 4-2\sqrt2),\] \[B=(2+4\sqrt2,\ -6\sqrt2),\] \[C=(2+6\sqrt2,\ 6-2\sqrt2)\]
są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie
**A.** \(S=(-1+4\sqrt2,\ 5-5\sqrt2)\)
**B.** \(S=(-2+\sqrt2,\ 2-4\sqrt2)\)
**C.** \(S=(2+5\sqrt2,\ 3-4\sqrt2)\)
**D.** \(S=(-2+2\sqrt2,\ 5-2\sqrt2)\)
Odpowiedź
**D.** \(S=(-2+2\sqrt2,\ 5-2\sqrt2)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc punkt ich przecięcia \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\). Ze wzoru na środek odcinka
\[S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\ \frac{y_A+y_C}{2}\right).\]
Podstawiamy \(A=(-6-2\sqrt2,\ 4-2\sqrt2)\) oraz \(C=(2+6\sqrt2,\ 6-2\sqrt2)\):
\[\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-4+4\sqrt2}{2}=-2+2\sqrt2,\qquad
\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{10-4\sqrt2}{2}=5-2\sqrt2.\]
**Odpowiedź.** D. \(S=(-2+2\sqrt2,\ 5-2\sqrt2)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
8.5) Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.
