Równania i nierówności
Zadanie 25, maj 2026, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(1,-3)\) i o promieniu \(5\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
\(1\). Punkt \(A=(4,-7)\) leży na okręgu \(O\).
\(2\). Równanie okręgu \(O\) ma postać \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\).
Podpowiedź
W równaniu okręgu po prawej stronie występuje kwadrat promienia.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Sprawdzamy odległość punktu od środka oraz poprawność stałej w równaniu.
Rozwiązanie
Dla punktu \(A=(4,-7)\) mamy \[(4-1)^2+(-7+3)^2=9+16=25=5^2,\] więc punkt leży na okręgu. Równanie okręgu ma postać \[(x-1)^2+(y+3)^2=25,\] a nie \(=5\). Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, drugie fałszywe.
Sprawdzenie
Środek odczytany z równania to \((1,-3)\), a prawa strona \(25\) daje promień \(5\).
Odpowiedź
**P, F.** Punkt \(A\) spełnia równanie okręgu, ponieważ \((4-1)^{2}+(-7+3)^{2}=25\). Poprawne równanie okręgu to \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzie: okrąg o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie
\[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},\]
a punkt leży na okręgu dokładnie wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa \(r\). W zadaniu \(a=1\), \(b=-3\), \(r=5\). Oba stwierdzenia oceniamy osobno.
**Krok \(2\).** Stwierdzenie \(1\). Liczymy odległość punktu \(A=(4,-7)\) od środka \(S=(1,-3)\) wzorem na odległość punktów:
\[|AS|=\sqrt{(4-1)^{2}+\left(-7-(-3)\right)^{2}}.\]
**Krok \(3\).** Upraszczamy różnice: \(4-1=3\) oraz \(-7+3=-4\). Zatem
\[|AS|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.\]
**Krok \(4\).** Odległość wyszła równa promieniowi \(r=5\), więc punkt \(A\) leży na okręgu \(O\). Stwierdzenie \(1\) jest **prawdziwe**.
**Krok \(5\).** Stwierdzenie \(2\). Podstawiamy dane do wzoru na równanie okręgu. Uwaga na znak: \(y-b=y-(-3)=y+3\), a po prawej stronie stoi \(r^{2}\):
\[(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}=25.\]
**Krok \(6\).** W stwierdzeniu po prawej stronie zapisano \(5\), a powinno być \(25\). Stwierdzenie \(2\) jest więc **fałszywe**.
**Uwaga.** Po prawej stronie równania okręgu zawsze stoi **kwadrat** promienia. Równanie \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\) też opisuje okrąg o środku \(S=(1,-3)\), ale o promieniu \(\sqrt5\), a nie \(5\). Zauważ, że kroki \(3\) i \(5\) się zazębiają: obliczenie \(3^{2}+(-4)^{2}=25\) to właśnie sprawdzenie, czy współrzędne \(A\) spełniają równanie \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25\).
**Odpowiedź.** Stwierdzenie \(1\) — prawda, stwierdzenie \(2\) — fałsz (P, F).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
