Geometria analityczna
Zadanie 24.1, maj 2026, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,-3)\), \(B=(2,1)\) oraz \(C=(0,2)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe
**A.** \(3\)
**B.** \(5\)
**C.** \(6\)
**D.** \(10\)
Podpowiedź
Odcinek \(AC\) jest pionową podstawą, a odległość punktu \(B\) od osi \(Oy\) jest wysokością.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Pole można obliczyć bez wyznaczania boków nachylonych.
Rozwiązanie
Długość podstawy wynosi \[|AC|=2-(-3)=5.\] Odległość punktu \(B=(2,1)\) od prostej \(x=0\), zawierającej \(AC\), jest równa \(2\). Zatem \[P_{ABC}=\frac12\cdot5\cdot2=5.\] Poprawna jest odpowiedź B.
Sprawdzenie
Wzór wyznacznikowy dla podanych współrzędnych również daje pole równe \(5\).
Odpowiedź
**B.** \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty \(A=(0,-3)\) i \(C=(0,2)\) mają tę samą pierwszą współrzędną, więc bok \(AC\) leży na osi \(Oy\) i ma długość \(|AC|=2-(-3)=5\).
Odległość punktu \(B=(2,1)\) od osi \(Oy\) jest równa \(2\), więc jest to wysokość trójkąta opuszczona na bok \(AC\). Stąd
\[P_{ABC}=\frac12\cdot5\cdot2=5.\]
**Odpowiedź.** \(P_{ABC}=5\), czyli wariant **B**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
