Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 10, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(2\). Punkt \(S\) jest środkiem krawędzi \(DH\). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(CFS\).
Odpowiedź
Najmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta \(CFS\) ma miarę \(45^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Długości boków trójkąta \(CFS\) wynoszą
\[|CF|=2\sqrt2,\qquad |CS|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5,\qquad |FS|=\sqrt{(2\sqrt2)^2+1^2}=3.\]
Najkrótszym bokiem jest \(CS\), więc najmniejszy kąt leży naprzeciw niego i jest to \(\angle CFS\). Z twierdzenia cosinusów:
\[|CS|^2=|CF|^2+|FS|^2-2|CF|\,|FS|\cos(\angle CFS),\]
\[5=8+9-12\sqrt2\cos(\angle CFS).\]
Stąd
\[\cos(\angle CFS)=\frac{12}{12\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\]
a więc \(|\angle CFS|=45^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie miary kąta \(CFS\): \(45^\circ\)
**3 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta \(CFS\)
**2 pkt** – obliczenie wszystkich boków: \(|CF|=2\sqrt2\), \(|CS|=\sqrt5\), \(|FS|=3\)
**1 pkt** – obliczenie \(|CF|\) i \(|CS|\) albo samego \(|FS|=3\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - dobór zależności geometrycznych i planu obliczeń.
**Wymagania szczegółowe:**
obliczanie odległości w sześcianie, stosowanie twierdzenia Pitagorasa oraz twierdzenia cosinusów.
