Geometria analityczna
Zadanie 33, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
Odpowiedź
\[C=\left(0,-\frac53\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(C\) leży na osi \(Oy\), przyjmijmy \(C=(0,y)\). Warunek \(|AC|=|BC|\) daje równość kwadratów odległości:
\[(0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2.\]
Po rozwinięciu otrzymujemy
\[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4,\]
czyli \(-12y=20\), a więc \(y=-\frac53\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – przyjęcie \(C=(0,y)\) i zapisanie odległości od \(A\) oraz \(B\)
**2 pkt** – ułożenie równania wynikającego z \(|AC|=|BC|\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla \(y\)
**4 pkt** – podanie \(C=(0,-\frac53)\)
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, odległość punktów i symetralna odcinka.
