Ostrosłupy
Zadanie 34, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt3\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[P_c=9\sqrt3+18\sqrt{21}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Pole równobocznej podstawy o boku \(6\) wynosi
\[P_p=\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3.\]
Z objętości \(V=\frac13P_pH=27\sqrt3\) otrzymujemy \(H=9\). Niech \(M\) będzie środkiem boku podstawy, a \(O\) środkiem podstawy. Odległość \(OM\) jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:
\[OM=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3.\]
Wysokość ściany bocznej jest równa
\[SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{9^2+(\sqrt3)^2}=2\sqrt{21}.\]
Pole trzech ścian bocznych wynosi
\[3\cdot\frac12\cdot6\cdot2\sqrt{21}=18\sqrt{21}.\]
Zatem
\[P_c=9\sqrt3+18\sqrt{21}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – obliczenie pola podstawy \(9\sqrt3\)
**2 pkt** – wyznaczenie wysokości ostrosłupa \(H=9\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie odcinka \(OM=\sqrt3\)
**4 pkt** – obliczenie wysokości ściany bocznej \(SM=2\sqrt{21}\) i pola powierzchni bocznej
**5 pkt** – podanie \(P_c=9\sqrt3+18\sqrt{21}\)
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, ostrosłup prawidłowy trójkątny, objętość i pole powierzchni.
