Ciąg arytmetyczny
Zadanie 32, czerwiec 2015, poziom podstawowy
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), dla \(n\geq1\), taki, że \(a_5=18\). Wyrazy \(a_1,a_3,a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).
Odpowiedź
\[a_n=4n-2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego. Z warunku \(a_5=18\) mamy
\[a_1=18-4r,\quad a_3=18-2r,\quad a_{13}=18+8r.\]
Ponieważ \(a_1,a_3,a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zachodzi
\[(18-2r)^2=(18-4r)(18+8r).\]
Po uproszczeniu otrzymujemy \(36r(r-4)=0\), więc \(r=0\) albo \(r=4\). Ciąg jest rosnący, dlatego \(r=4\). Wtedy \(a_1=2\) i
\[a_n=a_1+(n-1)r=2+4(n-1)=4n-2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie wyrazów \(a_1,a_3,a_{13}\) za pomocą różnicy \(r\)
**2 pkt** – ułożenie równania \(a_3^2=a_1a_{13}\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(r=4\) z odrzuceniem \(r=0\), ponieważ ciąg jest rosnący
**4 pkt** – podanie wzoru \(a_n=4n-2\)
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, zależności między ciągiem arytmetycznym i geometrycznym.
